Розв'язання X²-5x-14≤0: Знайдіть Найменший Розв'язок

Привіт, друзі-математики! Сьогодні ми разом зануримось у захопливий світ квадратних нерівностей і навчимося, як легко і швидко знайти найменший розв'язок для нашої конкретної задачі: x²-5x-14≤0. Не хвилюйтеся, якщо ці символи здаються вам складними – я обіцяю, що ми розберемо кожен крок так докладно, що ви не просто зрозумієте, а й відчуєте себе справжніми майстрами нерівностей. Наша мета — не просто отримати правильну відповідь із запропонованих варіантів (А. -7; Б. -2; В.-1; Г. 0), а ґрунтовно освоїти метод, який ви зможете застосовувати для будь-яких схожих завдань. Це дійсно цінна навичка, яка не лише допоможе вам на контрольних і іспитах, але й значно покращить ваше логічне мислення та вміння аналізувати проблеми, що, погодьтеся, надзвичайно корисно в будь-якій сфері життя. Отже, приготуйтеся, ми почнемо з основ і крок за кроком побудуємо наше розуміння до моменту, коли рішення стане очевидним. Ми будемо використовувати просту, дружню мову, уникаючи надмірно академічних термінів, щоб процес навчання був максимально приємним та ефективним. Цей посібник створений спеціально для того, щоб ви не просто «зубрили» формули, а розуміли суть кожного етапу розв'язання. Чи готові ви розвіяти всі міфи про складність математики та відкрити для себе, наскільки інтуїтивно можна підходити до розв'язання таких задач? Поїхали! Ми не просто знайдемо найменший розв'язок нерівності, ми закладемо міцний фундамент для ваших майбутніх математичних перемог. Справжнє задоволення від математики починається тоді, коли ви починаєте розуміти, як все працює, а не просто запам'ятовувати. Тож давайте зробимо це разом, просто і зрозуміло!

Що таке Квадратна Нерівність і Чому Вона Важлива?

Перш ніж ми кидатимемося розв'язувати x²-5x-14≤0, давайте спочатку розберемося, що ж це таке – квадратна нерівність. Уявіть собі рівняння, але замість знаку рівності (=) у нас є знак нерівності (≤, <, ≥, >). Загалом, квадратна нерівність має вигляд ax² + bx + c з одним із цих знаків нерівності та нулем (наприклад, ax² + bx + c ≤ 0). Ось і все! Звучить просто, правда? Ключова відмінність від квадратних рівнянь полягає в тому, що розв'язком нерівності є не одна або дві точки, а цілий проміжок або об'єднання проміжків на числовій прямій. Це означає, що існує безліч чисел, які задовольняють цю умову, а наше завдання — знайти, де саме ці числа "живуть". Чому це важливо, запитаєте ви? Ну, хлопці, квадратні нерівності зустрічаються повсюди, навіть якщо ви цього не помічаєте! Вони є основою для моделювання багатьох реальних процесів у фізиці, економіці, інженерії та навіть у біології. Наприклад, ви можете використовувати їх для визначення оптимальних умов для виробництва (коли прибуток буде максимальним або витрати мінімальними), для розрахунку траєкторії польоту об'єкта, або для аналізу даних. Розуміння того, як розв'язувати квадратні нерівності, дає вам потужний інструмент для аналізу та прогнозування. У нашому випадку, x²-5x-14≤0 просить нас знайти всі значення x, при яких вираз x²-5x-14 буде меншим або дорівнюватиме нулю. Це означає, що ми шукаємо ті значення x, де графік параболи y = x²-5x-14 лежить нижче або на осі x. Дуже важливо розуміти значення кожного знака: ≤ означає "менше або дорівнює", що включає граничні точки в наш розв'язок. Це дуже фундаментальний аспект, який часто недооцінюють, але саме він відіграє вирішальну роль у виборі правильної відповіді. Тож, давайте перейдемо до практичних кроків і розберемося, як майстерно розв'язувати нашу задачу!

Покрокове Розв'язання: Розбираємо x²-5x-14≤0

Окей, друзі, настав час засукати рукави і взятися за нашу нерівність x²-5x-14≤0! Нехай вас не лякає її вигляд, адже ми будемо розв'язувати її покроково, перетворюючи велику задачу на низку маленьких і зрозумілих кроків. Цей структурований підхід гарантує, що ви не пропустите жодної важливої деталі та дійдете до правильної відповіді з повною впевненістю. Приготуйтеся до математичної подорожі!

Крок 1: Перетворюємо на Рівняння та Знаходимо Корені (Нульові Точки!)

Перший і найважливіший крок у розв'язанні будь-якої квадратної нерівності, як-от x²-5x-14≤0, – це тимчасово забути про знак нерівності і перетворити її на звичайне квадратне рівняння. Тобто, замість ≤0 ми пишемо =0. Отже, наша нерівність x²-5x-14≤0 стає рівнянням x²-5x-14=0. Чому ми це робимо? Тому що корені цього рівняння (також відомі як нульові точки) – це саме ті точки на числовій прямій, де наш вираз x²-5x-14 дорівнює нулю. Ці точки є критичними, адже саме в них змінюється знак виразу, і вони визначають межі наших інтервалів розв'язків. Для розв'язання x²-5x-14=0 ми можемо використати кілька методів: дискримінант, формулу Вієта або, як у нашому випадку, факторизацію (розкладання на множники), якщо вона можлива. Давайте спробуємо факторизацію, бо це часто найшвидший спосіб. Ми шукаємо два числа, які при множенні дають -14, а при додаванні – -5. Трохи поміркувавши, ми знаходимо, що це числа -7 і 2, адже (-7) * 2 = -14 і (-7) + 2 = -5. Отже, наше рівняння розкладається на множники так: (x-7)(x+2)=0. Тепер, щоб добуток двох множників дорівнював нулю, хоча б один з них повинен бути нулем. Звідси випливає: x-7 = 0 або x+2 = 0. Розв'язуючи ці прості лінійні рівняння, ми отримуємо наші корені: x₁ = 7 та x₂ = -2. Ці два значення, 7 і -2, є нашими критичними точками. Вони є ключем до розв'язання нерівності, адже саме вони ділять числову пряму на окремі інтервали, де наш вираз буде мати стабільний знак. Пам'ятайте, що цей крок є абсолютно фундаментальним, і правильне знаходження коренів є запорукою успіху в подальших етапах. Без цих коренів ми просто не зможемо рухатися далі, тому завжди приділяйте цьому кроку максимальну увагу. Це наш стартовий майданчик для подальших досліджень!

Крок 2: Візуалізація на Числовій Прямій (Критичні Точки – Наші Орієнтири!)

Супер, ми знайшли наші критичні точки: x = -2 та x = 7. Тепер, щоб зрозуміти, як поводиться наша нерівність x²-5x-14≤0 в різних областях, нам знадобиться дуже корисний інструмент – числова пряма. Це як карта, яка допоможе нам візуалізувати всі можливі значення x та те, як вони взаємодіють з нашим виразом. Уявіть собі довгу пряму лінію, яка тягнеться від мінус нескінченності до плюс нескінченності. На цій прямій ми обов'язково відзначаємо наші корені: -2 і 7. Важливо розмістити їх у правильному порядку – від меншого до більшого. Оскільки наша нерівність містить знак ≤ (менше або дорівнює), це означає, що самі критичні точки -2 та 7 включаються до нашого розв'язку. Тому на числовій прямій ми позначаємо їх зафарбованими кружечками (або закритими точками), щоб показати, що вони є частиною рішення. Якщо б знак був строгий (< або >), ми б використовували порожні кружечки. Ці дві точки, -2 і 7, ділять всю числову пряму на три окремі інтервали: перший інтервал – це всі числа, менші за -2 (від -∞ до -2); другий інтервал – це числа між -2 і 7 (від -2 до 7); і третій інтервал – це всі числа, більші за 7 (від 7 до +∞). Ви тільки уявіть: ці інтервали – це "зони", в кожній з яких наш вираз x²-5x-14 буде мати один і той же знак (або завжди додатний, або завжди від'ємний). Нам потрібно лише визначити цей знак для кожного інтервалу. Це як детективне розслідування, де ми звужуємо коло підозрюваних. Візуалізація на числовій прямій є ключовою для розуміння того, як ці інтервали формуються і як ми будемо їх перевіряти. Не ігноруйте цей крок, друзі, адже він справді спрощує все подальше розв'язання і допомагає уникнути плутанини. З чітко нанесеними критичними точками та розділеними інтервалами, ми готові перейти до наступного етапу – перевірки!

Крок 3: Перевірка Інтервалів (Де Наша Нерівність "Працює"?)

Гаразд, хлопці, ми вже майже біля фінішу! У нас є числова пряма з критичними точками -2 і 7, які розділили її на три інтервали: (-∞; -2], [-2; 7], та [7; +∞). Тепер наше завдання — з'ясувати, в яких з цих інтервалів вираз x²-5x-14 буде меншим або дорівнюватиме нулю (тобто, ≤0). Для цього ми обираємо тестову точку з кожного інтервалу і підставляємо її в нашу початкову нерівність. Це дозволить нам визначити знак всього виразу для цього інтервалу.

• Інтервал 1: x < -2 (наприклад, візьмемо x = -3) Підставляємо -3 у вираз x²-5x-14: (-3)² - 5(-3) - 14 = 9 + 15 - 14 = 24 - 14 = 10. Отримали 10. Чи є 10 ≤ 0? Ні, 10 не менше і не дорівнює нулю. Це означає, що цей інтервал не задовольняє нашу нерівність. Вся ця ділянка числової прямої (від -∞ до -2) не підходить. Бачите, як просто? Один тест, і ми вже відкинули цілий шматок розв'язків.

• Інтервал 2: -2 < x < 7 (наприклад, візьмемо x = 0 – це завжди зручно, якщо 0 входить в інтервал) Підставляємо 0 у вираз x²-5x-14: (0)² - 5(0) - 14 = 0 - 0 - 14 = -14. Отримали -14. Чи є -14 ≤ 0? Так, -14 менше нуля! Це означає, що цей інтервал задовольняє нашу нерівність. Чудово! Весь проміжок від -2 до 7 (включно з кінцями, бо нерівність нестрога) є частиною нашого розв'язку. Це наша "золота жила"!

• Інтервал 3: x > 7 (наприклад, візьмемо x = 8) Підставляємо 8 у вираз x²-5x-14: (8)² - 5(8) - 14 = 64 - 40 - 14 = 24 - 14 = 10. Отримали 10. Чи є 10 ≤ 0? Ні, знову ж таки 10 не менше і не дорівнює нулю. Цей інтервал також не підходить для нашого розв'язку. Ми знову відкинули ще один шматок числової прямої.

Отже, за результатами наших тестів, єдиний інтервал, який задовольняє нерівність x²-5x-14≤0, це [-2; 7]. Цей проміжок означає, що будь-яке число x, яке знаходиться між -2 та 7 (включно з -2 та 7), робить вираз x²-5x-14 від'ємним або нульовим. Ми зробили це! Ми знайшли всю множину розв'язків нашої нерівності. Це дійсно важливий крок, який вимагає уваги до деталей, але, як бачите, він цілком під силу кожному. Просто послідовно перевіряємо, і все буде чітко!

Знаходимо Найменший Розв'язок і Підсумки

Ну що, ми з вами пройшли довгий, але захопливий шлях від простої нерівності до повної множини її розв'язків! Ми щойно з'ясували, що наша нерівність x²-5x-14≤0 виконується для всіх значень x, що належать проміжку [-2; 7]. Це означає, що будь-яке число від -2 до 7, включаючи самі -2 і 7, є розв'язком. Тепер давайте повернемося до початкового питання, яке нас цікавило: знайти НАЙМЕНШИЙ розв'язок із запропонованих варіантів. Уявіть собі цей проміжок на числовій прямій: [-2, 7]. Яке число є найменшим у цьому інтервалі? Звісно ж, це ліва межа проміжку, яка в нашому випадку дорівнює -2. Це число є найменшим з усіх можливих значень x, які задовольняють нашу нерівність. І це число входить до нашої множини розв'язків, адже нерівність нестрога (≤).

Давайте подивимося на наші варіанти відповідей:

• А. -7
• Б. -2
• В. -1
• Г. 0

Як ми вже визначили, найменший розв'язок з нашої множини [-2; 7] – це -2. Він є в списку, і це саме те, що ми шукаємо! Отже, правильна відповідь – Б. -2. Бачите, як логічно і послідовно ми дійшли до фінішу? Ми не просто вгадали, а обґрунтували кожен свій крок, використовуючи надійні математичні принципи. Це не просто відповідь, це доказ вашого розуміння! Я дуже сподіваюся, що цей детальний посібник допоміг вам не лише розв'язати конкретне завдання, але й глибше зрозуміти принцип роботи з квадратними нерівностями. Пам'ятайте, математика – це не страшно, це цікаво і логічно, якщо розбиратися в ній крок за кроком. Не бійтеся експериментувати з різними тестовими точками, візуалізувати на числовій прямій і завжди перевіряти свої результати. Практика – це ваш найкращий друг у світі математики. Чим більше ви практикуєтеся, тим впевненіше почуватиметеся. Тож, продовжуйте вивчати, відкривати нове і нехай математика стане вашим улюбленим предметом! До нових зустрічей у світі чисел та формул, друзі!